Ne csak a kesergésnek adjunk - Fraktálok 3D-ben

Olyan matematikusok és programozók, akik nem csak szimplán kockák, hanem egy kis szépészeti érzék is szorult beléjük megalkották az eredeti fraktál képlet 3D-s verzióját, majd le is programozták és az alábbi oldalon lehet megtekinteni az eredményeket: http://www.skytopia.com/project/fractal/2mandelbulb.html.

Az eredeti Mandelbrot halmaz összefüggése:

zi+1 -> zin + c

, ahol zi egy komplex szám, c konstans, n hatványkitevő. Az eredmény is komplex szám lesz.

Ha a fenti rekurzívan megadott képlet által adott komplex számsorozat korlátos lesz, akkor a kiindulási pont a Mandelbrot halmaz része.

Gyakorlatban a korlátosságot úgy szokás megállapítani, hogy az iterációt elég sokáig végzi a számítógép és azt vizsgálja, hogy |zi| < 2 marad-e. Ha igen, akkor korlátos a z sorozat és z a Mandelbrot halmaz része. Ez persze nem matematikai bizonyítás, de jó közelítés.

A számítógépes programozók elkezdik egy két dimenziós tér pontjait letapogatni bizonyos sűrűséggel és a pontokra kiszámoltatják a géppel, hogy a halmaz része-e a pont vagy nem.

A letapogatás sűrűségét növelve a halmaz határterületén újabb és újabb furcsa részletek jelennek meg.

Az alábbi kép a Mandelbrot halmaz egyik részletét mutatja:

Az az érdekes, hogy ahogy növeljük a letapogatás finomságát, azaz zoomolunk ismétlődnek kicsiben bizonyos formák.

A fenti képletet ki lehet terjeszteni 3D térben, ugynevezett triplex számmá és ott is lehet az összeadás, hatványozás műveleteit értelmezni. Ebben az esetben is van értelme a korlátosság fogalmának.

A 3D-s Mandelbrot halmaz része egy kiindulási pont a triplex (3D) térben, ha a sorozat korlátos. Ekkor beszélünk Mandelbulb halmazról.

További képek:

MAndelbulb halmaz

 

További képek innen letölthetők: http://www.skytopia.com/project/fractal/2mandelbulb.html

Részletes leírás és maqgyarázat, illetve további képek a Mandebrot halmazról

hu.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot-halmaz