Az alábbi cikkben sok mindent Jim Holt "Amikor Einstein Gödellel sétált" című könyvének olvasásából merítettem.
Az alapkérdés számomra nem a matematika létjogosultsága, hanem az a kérdés, hogy az emberek hogyan viszonyulnak a matematikához és miért viszonyulnak úgy, ahogy?
Az emberek hogyan viszonyulnak a matematikához?
Kutatások bizonyítják (Dehaene 1989), hogy az embernek és sok más élőlénynek - persze állatnak - veleszületett tulajdonsága az, hogy mennyiségeket és azok egymáshoz való viszonyát meg tudja különböztetni, és ehhez nem szükséges számokat ismernie. Ilyen kísérletekkel mutatták meg, hogy a delfinek, az emberszabású majmok, szalamandrák és még sok állat képes arra, hogy mennyiségeket összehasonlítson és döntsön arról, hogy melyik a több és melyik a kevesebb. És ehhez nincsen szükség a számok absztrakciójára. Civilizációtól távol eső népek esetét is leírták arra, hogyha a szám fogalma nincs meg egy nyelvben, akkor is tudnak mennyiségeket összehasonlítani, függetlenül a tárgyak méretétől.
Egyéb kutatások azt igazolták, hogy a 0,1,2,3,4 körüli mennyiségekkel való műveletek az agynak más területein zajlanak le, mint az ennél a számkörnél nagyobb értékek használata során. Ez azt jelenti, hogy a törzsfejlődés során alakult ki az agynak olyan területe, amely a mennyiségekkel foglalkozik. Az is triviális, hogy az emberek általában a kisebb értékeket, számokat balra, a nagyobbakat jobbra képzelik el, mintha a mennyiségeket az ember automatikusan egy balról jobbra haladó számegyenesen helyezné el.
A 2-3-4 éves gyerekek, mikor már beszélnek képesek megszámlálni tárgyakat és bizonyos elemi műveleteket is elvégezni, mint az összeadás, kivonás, esetleg a szétosztás, főleg ha a környezetük inspiráló. Az általános iskola alsó évfolyamain pedig a számkört bővítve már bizonyos műveleteket a százas számkörben el tudnak végezni. Érdekes módon, az általános iskola felsőbb évfolyamain aztán a különböző gyerekek képességeik, hajlamaik és egyéb tényezők befolyására a számtanhoz különbözőképpen kezdenek viszonyulni, és vannak olyan tanulók, akiknek a számtan (matematika) jobban megy és gördülékenyebben tudnak haladni, míg mások elakadnak és a matematika alapjainak egyszerű dolgait nem értik, és egy idő múlva nem is akarják megérteni, feladják.Ugorjunk.
A humán beállítottságúak
A felnőtt emberek között az un. humán beállítottságúak gyakran kérkednek azzal, hogy a matematika számukra teljesen ismeretlen terület és valahol még büszkék is rá. Ugyanezek az emberek gyakran lenézik azokat, akik nem ismernek filmeket, színházakat, költőket, írókat. Hogyan is van ez?
A matematika fejlődésében igenis van egy kis lart-pour-lart tulajdonság. Nagyon sok matematikus éveken, évtizedeken keresztül gondolkodik és kutat olyan területeket, amelyeknek az égvilágon semmi gyakorlati haszna nincsen a kutatások időpontjában. Gyakran ezek a tudósok egy-egy kutatási eredményt a levezetést a szépségéért alkotnak meg és nem annak bármiféle gyakorlati hasznáért. Ennek roppantul örülnek és azt mondják, hogy a matematika "szép". Úgy gondolom, hogy a szépség ebben az esetben kicsit fogalmilag összekeveredik a sikeresen megoldott probléma örömével és talán nem ez a megfelelő szó rá. Hiszen egy 68 ezer kis pöttyből és vonalból álló festmény is lehet szép, ha megfelelő távolságból nézzük és ha közelről nézzük szétesik a formája.
A matematika és a problémáik megoldása
A matematika sokszor a régmúltban, a közeli múltban is segített és mostanában is segít bizonyos, a való életből származó problémák megoldásában. Néha embernek az az érzése egy megoldás kapcsán, hogy a matematika törvényszerűségeinek mély kapcsolata van a természettel! Az utolsó évtizedek egyik nagy port felkavaró kutatása a szubatomi részecskék zavaróan nagy mennyisége volt az egyik olyan jelenség, amelyet az algebra gyűrű elméletének segítségével oldottak meg. A matematikai elmélet alapján megjósoltak olyan elemi részecskéket, amelyeket addig még kísérlettel nem tudtak igazolni, majd a megjósolt részecskéket célzottan keresték és meg is találták. A gyűrű elmélet a XIX. század terméke volt! A gazdaság működésének megértésében és a gazdasági jóslások terén is segít a matematika. Azt mondhatjuk, hogy a matematikának gyakran van olyan eredménye, amit később problémák megoldására alkalmaznak., igaz az eredményt nem közvetlenül a probléma megoldására találták ki. Amikor egy valós világbeli problémára matematikai megoldást keresünk, azt alkalmazott matematikának hívjuk. Az alkalmazott matematika célhoz kötött, művelik bankok, pénzintézetek, biztosítók, mérnökök stb.
Úgy gondolom, hogy a matematika egyfajta művészet, ha úgy tetszik egyfajta esztétikai rendszer, amelynek ugyanakkor nagyon sok köze van, lehet a valósághoz.
A matematika és a filozófia
Az átlagember általában csak azt érti, amit érzékel és ha olyan dologgal van dolga, amit nem tud az érzékszerveivel megfogni, akkor gyakran akadnak problémái a megértéssel. Ilyenkor jönnek a transzcendentális gondolatok, az istenek a fákban, sziklákban, a világlélek, a túlvilági élet és így tovább. A matematika fejlődése visszavezethető Platonig és természetesen nagyon sok kacskaringóval, de végigért napjainkig. Sokszor keverednek a matematikai gondolatok filozófiai gondolatokkal is, mivel az átlagembernek gyakran nincsen elég tudása a matematikai elvek megértéséhez és ilyenkor a transzcendenciához, illetve manapság a filozófiához fordul. A matematikai fogalmak tehát filozófiai köntösben jelennek meg. Az egyik ilyen fogalom a végtelenül nagy.
A végtelenül nagy
A végtelenül nagy azért elképzelhetetlen az átlagember számára, mert csak véges dolgokat érzékel. Az emberhez képest a Föld nagyon nagy, de nem végtelen. Azt már néhány száz éve tudjuk, hogy körbe lehet hajózni, tehát nem végtelen nagy, sőt a méretét is ki tudták számolni a görögök az ókorban (persze pontatlanul, de nagyságrendileg helyesen). Amikor a csillagászok rájöttek, hogy a bolygók a Nap körül keringenek és a Nap is a Tejútrendszernek nevezett valami része, a tejútrendszer egy galaxishalmaz része, stb., akkor rá kellett döbbenniük, hogy mi mindannyian valami óriási dolognak vagyunk apró részei, vagy másképpen a világegyetemhez képest mi porszemek vagyunk.
A matematikában ez azt jelenti, hogyha vesszük az egész számokat, akkor minden általunk elképzelt egész számhoz tudunk hozzáadni egyet, így nincsen legnagyobb egész szám. Az 5-6 éves gyerek ma már ezt tudja, és elfogadja. Nem gondolkodik rajta. Kétszáz évvel ezelőtt ez még nem volt triviális.
Mégis minden végtelen egyforma nagy, vagy vannak kisebb és nagyobb végtelenek?
Első gondolatra ez hülyeség, mert a végtelen az végtelen, ugyanakkor az alábbit gondoljuk el. Tegyük fel, hogy van egy halmazunk, például a két pozitív egész számból álló elemek halmaza. Legyen a neve S halmaz. Az egész számok halmaza legyen N. Az S halmaznak több vagy kevesebb eleme van-e, mint N-nek? Elgő gondolatra a válasz igen, mert ha a két számból álló számok halmazának elemeit rátesszük egy síkra és az egyik számot mindig az X tengelyről vesszük, a másik számot az Y tengelyről, akkor megkapjuk a sík egész koordinátájú pontjait, aminek része magának az X tengelynek nyilvánvalóan igaz az állítás. Az S halmaznak lesznek olyan elemei, amelyek N halmaznak nem elemei. Akkor az S halmaz végtelensége nagyobb, mint N halmaz végtelensége? Igen, de ennek így nincsen értelme. Annak van értelme, hogy az S halmaz elemeit meg tudjuk-e számlálni és hozzá tudjuk-e rendelni a pozitív egész számok halmazához. A válasz igen, de ennek a bizonyítását nem mondom meg, mert középiskolás matematikával bárki kitalálhatja. Erre azt mondjuk, hogy az S halmaz számossága megegyezik a pozitív egész számok számosságával. Lefordítva az egész számok halmazának végtelensége ugyanaz, mint a két egész számból álló elemek halmazának végtelenségével.
Mivel a racionális számok definíciója is két egész szám hányadosa, ezért a fenti okfejtés alapján a racionális számok számossága is ugyanilyen, bár minden két egész szám között végtelen sok racionális szám van!
Az ilyen halmazokat megszámlálható számosságúnak mondjuk.
Vajon az irracionális (Pi, négyzetgyök 2, négyzetgyök 3, stb...) számok mennyien vannak? Végtelen sokan, de megszámlálhatók? Erre is van egyszerű bizonyítás, aminek eredménye az, hogy az irracionális számok számossága nagyobb, mint az egész számok számossága. Az ő végtelenségük nagyobb.
A végtelennek a fizikai valóságban van-e értelme? Mi a legnagyobb és a legkisebb méretű dolog, amivel a fizika el tud képzelni jelenleg?
Közhely, de a világegyetem tágul és minél messzebb van tőlünk egy dolog a világegyetemben, annál gyorsabban távolodik tőlünk. Valahogy úgy, ahogy ha egy kicsit fejfújt lufira filctollal rajzolunk pontokat, majd folytatjuk a lufi felfújását. Minden filctollas pont távolodni fog a többitől és minél messzebb vannak egymástól, annál gyorsabban távolodnak. A világegyetemnek azok az objektumai, amelyek közel fénysebességgel távolodnak tőlünk, számunkra kívül esnek a megismerhetőn, hiszen az információ áramlás sebessége (elektromágneses, gravitációs információ) legfeljebb fénysebességgel terjed. Vagyis ami azután van a fizika számára nem megismerhető és végtelennek tekinthető. Bár tudjuk, hogy van annál messzebb is anyag, de arról soha nem fogunk megtudni semmi konkrétat. A fizikának ez jelenti a végtelenül nagyot.
Mekkora a leghosszabb idő, amit a fizika el tud képzelni?
Az ősrobbanás óta eltelt idő, hiszen az volt a jelenlegi világegyetemünkben legelőször, körülbelül 13-14 milliárd év.
Mi a legkisebb távolság és a legrövidebb időszakasz, amiről a fizika tud valamit, vagyis mi a végtelenül kicsi és végtelenül rövid idő?
Az atommagokat alkotó részecskék és az azokat alkotó kvarkok a legkisebbek és ameddig élnek talán az a legrövidebb idő, amit mérni lehet. Ez kb. 10-40 sec és nagyságrendileg ugyanekkora távolság méterben.
Hogy van-e ennél kisebb és ennél rövidebb azt nem tudjuk.
