Olyan matematikusok és programozók, akik nem csak szimplán kockák, hanem egy kis szépészeti érzék is szorult beléjük megalkották az eredeti fraktál képlet 3D-s verzióját, majd le is programozták és az alábbi oldalon lehet megtekinteni az eredményeket: http://www.skytopia.com/project/fractal/2mandelbulb.html.
Az eredeti Mandelbrot halmaz összefüggése:
zi+1 -> zin + c
, ahol zi egy komplex szám, c konstans, n hatványkitevő. Az eredmény is komplex szám lesz.
Ha a fenti rekurzívan megadott képlet által adott komplex számsorozat korlátos lesz, akkor a kiindulási pont a Mandelbrot halmaz része.
Gyakorlatban a korlátosságot úgy szokás megállapítani, hogy az iterációt elég sokáig végzi a számítógép és azt vizsgálja, hogy |zi| < 2 marad-e. Ha igen, akkor korlátos a z sorozat és z0 a Mandelbrot halmaz része. Ez persze nem matematikai bizonyítás, de jó közelítés.
A számítógépes programozók elkezdik egy két dimenziós tér pontjait letapogatni bizonyos sűrűséggel és a pontokra kiszámoltatják a géppel, hogy a halmaz része-e a pont vagy nem.
A letapogatás sűrűségét növelve a halmaz határterületén újabb és újabb furcsa részletek jelennek meg.
Az alábbi kép a Mandelbrot halmaz egyik részletét mutatja:
Az az érdekes, hogy ahogy növeljük a letapogatás finomságát, azaz zoomolunk ismétlődnek kicsiben bizonyos formák.
A fenti képletet ki lehet terjeszteni 3D térben, úgynevezett triplex számmá és ott is lehet az összeadás, hatványozás műveleteit értelmezni. Ebben az esetben is van értelme a korlátosság fogalmának.
A 3D-s Mandelbrot halmaz része egy kiindulási pont a triplex (3D) térben, ha a sorozat korlátos. Ekkor beszélünk Mandelbulb halmazról.
További képek:
További képek innen letölthetők: http://www.skytopia.com/project/fractal/2mandelbulb.html
Részletes leírás és magyarázat, illetve további képek a Mandebrot halmazról